二、一元函数微分学
导数概念
定义（导数）
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。若极限
$$
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
$$
存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，并称该极限为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记作
$$
f'(x_0)=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}.
$$
▸推导（割线斜率 $\to$ 切线斜率）
过点 $(x_0,f(x_0))$ 与 $(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$ 的割线斜率为
$$
k(\Delta x)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.
$$
当 $\Delta x\to 0$ 时，若 $k(\Delta x)$ 收敛到某个数 $k$，则这表示割线趋于一条稳定的极限位置，该极限斜率 $k$ 即切线斜率，定义为导数。
定理（可导必连续）
若 $f$ 在 $x_0$ 可导，则 $f$ 在 $x_0$ 连续。
▸推导
由
$$
f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\Delta x\cdot\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.
$$
当 $\Delta x\to 0$ 时，括号内比值趋于 $f'(x_0)$（有限），而 $\Delta x\to 0$，故右侧趋于 0，即 $f(x_0+\Delta x)\to f(x_0)$，所以连续。
[!EXAMPLE] 用定义求导
求 $f(x)=x^2$ 的导数。
$$
f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x.
$$
求导法则
定理（四则运算）
若 $f,g$ 在 $x$ 可导，则
$$
(f\pm g)'=f'\pm g',\quad (fg)'=f'g+fg',
$$
且当 $g(x)\ne 0$ 时
$$
\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.
$$
▸推导（以乘积法则为例）
$$
(fg)'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}
$$
加减 $f(x+\Delta x)g(x)$：
$$
=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)\bigl[g(x+\Delta x)-g(x)\bigr]}{\Delta x}
+\lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x)\bigl[f(x+\Delta x)-f(x)\bigr]}{\Delta x}.
$$
若 $f$ 在 $x$ 可导，则连续，从而 $f(x+\Delta x)\to f(x)$。于是得到 $f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$。
除法就是乘$\frac{1}{g}$，可以直接推导。
定理（链式法则）
若 $u=g(x)$ 在 $x$ 可导，且 $y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x$ 可导，且
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(g(x))g'(x).
$$
▸推导（增量分解）
令 $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$。则
$$
\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}
=\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}.
$$
当 $\Delta x\to 0$ 时，因 $g$ 可导故 $\Delta u\to 0$，两因子分别趋于 $f'(u)$ 与 $g'(x)$，故极限为 $f'(g(x))g'(x)$。
定理（反函数求导）
若 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调、连续且可导，且 $f'(x)\ne 0$，则反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $f(I)$ 上可导，且
$$
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=\frac{1}{f'(x)}\quad (y=f(x)).
$$
▸推导（互为复合恒等）
$f^{-1}(f(x))=x$。两边对 $x$ 求导：
$$
(f^{-1})'(f(x))\cdot f'(x)=1
$$
故 $(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}$。令 $y=f(x)$ 即得。
隐函数与参数方程
定理（隐函数求导：一阶）
若 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$，且 $F$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微、$F_y(x_0,y_0)\ne 0$，则在该点附近存在可导函数 $y(x)$，并有
$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.
$$
▸推导（链式法则）
由恒等式 $F(x,y(x))\equiv 0$，对 $x$ 求导：
$$
F_x(x,y(x))+F_y(x,y(x))\cdot y'(x)=0,
$$
故 $y'(x)=-\frac{F_x}{F_y}$（在 $F_y\ne 0$ 处成立）。
定理（参数方程求导）
若 $x=\varphi(t),\ y=\psi(t)$，且 $\varphi'(t)\ne 0$，则
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.
$$
高阶导数与莱布尼茨公式
定义（高阶导数）
若 $f'$ 可导，则 $f''=(f')'$；依此类推得 $f^{(n)}$。
定理（莱布尼茨公式）
Leibniz formula
若 $f,g$ 有 $n$ 阶导数，则
$$
(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}.
$$
▸推导（数学归纳法）
$n=1$ 即乘积法则成立。设对 $n$ 成立，则对 $n+1$：
$$
(fg)^{(n+1)}=\left(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}\right)'
=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(f^{(k+1)}g^{(n-k)}+f^{(k)}g^{(n-k+1)}\right).
$$
把两部分按指标平移并合并，利用 $\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$，得到 $n+1$ 的公式。
常用高阶导数公式
定理（三角函数的高阶导数）
$$
\frac{d^n}{dx^n}\sin x=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right),\qquad
\frac{d^n}{dx^n}\cos x=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right).
$$
▸推导（周期为 4 的规律）
先写前四阶：
$$
\sin x \xrightarrow{'} \cos x \xrightarrow{'} -\sin x \xrightarrow{'} -\cos x \xrightarrow{'} \sin x.
$$
每求一次导数，相当于把自变量平移 $\frac{\pi}{2}$ 并保持“同类函数”，于是得到一般式。
推论（含 $kx$ 的情形）
$$
\frac{d^n}{dx^n}\sin(kx)=k^n\sin\left(kx+\frac{n\pi}{2}\right),\qquad
\frac{d^n}{dx^n}\cos(kx)=k^n\cos\left(kx+\frac{n\pi}{2}\right).
$$
▸推导
由链式法则：每求一次导数都会多乘一个 $k$，共 $n$ 次得到 $k^n$；同时保留上面的“相位平移”规律。
定理（指数函数的高阶导数）
$$
\frac{d^n}{dx^n}e^x=e^x,\qquad
\frac{d^n}{dx^n}a^x=(\ln a)^n a^x\ (a>0,a\ne 1).
$$
▸推导
对 $a^x$：先有 $(a^x)'=(\ln a)a^x$，每求一次导数再乘一个 $\ln a$，故得到 $(\ln a)^n a^x$。
定理（幂函数与对数函数的高阶导数）
$$
\frac{d^n}{dx^n}x^{\alpha}=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n}\quad (x>0\ \text{或在可导区间内}),
$$
$$
\frac{d^n}{dx^n}\ln(1+x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\quad (x>-1).
$$
▸推导（以 $\ln(1+x)$ 为例）
先求前几阶：
$$
(\ln(1+x))'=\frac{1}{1+x},\quad
(\ln(1+x))''=-\frac{1}{(1+x)^2},\quad
(\ln(1+x))'''=\frac{2}{(1+x)^3}.
$$
观察到符号交替、分母幂次递增、分子出现阶乘，归纳即可得到一般式。
微分
定义（微分）
若 $f$ 在 $x$ 可导，则称
$$
dy=f'(x)\,dx
$$
为 $f$ 在点 $x$ 的微分，其中 $dx$ 为自变量增量的记号。
▸推导（线性主部）
可导等价于存在 $o(\Delta x)$ 使
$$
f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x)\Delta x+o(\Delta x).
$$
取 $dx=\Delta x$，线性主部 $f'(x)dx$ 定义为 $dy$。
性质（微分形式不变性）
若 $u=g(x)$ 可导，则 $dy=f'(u)\,du$，且 $du=g'(x)\,dx$，因此 $dy=f'(g(x))g'(x)\,dx$ 与链式法则一致。
估算 $\sqrt{4.01}$。令 $f(x)=\sqrt{x}$，在 $x_0=4$ 处：$f(4)=2$，$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，故 $f'(4)=\frac{1}{4}$。
取 $dx=0.01$，则 $dy\approx f'(4)dx=\frac{1}{4}\cdot 0.01=0.0025$，故 $\sqrt{4.01}\approx 2.0025$。
中值定理与导数应用
引理（费马引理）
Fermat’s Lemma
若 $f$ 在 $x_0$ 可导且在 $x_0$ 取极值，则 $f'(x_0)=0$。
▸推导
若 $x_0$ 为极大值点，则 $\Delta x>0$ 时 $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\le 0$；
$\Delta x<0$ 时该比值 $\ge 0$。两侧极限存在且相等，只能为 0。
定理（罗尔定理）
Rolle’s Theorem
若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $f'(c)=0$。
▸推导
由最值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 取到最大/最小值。若非常值函数，则至少有一个极值点在 $(a,b)$ 内；用费马引理得 $f'(c)=0$。
定理（拉格朗日中值定理）
Lagrange’s Mean Value Theorem
若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，则存在 $c\in(a,b)$ 使
$$
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
$$
▸推导（构造辅助函数）
令
$$
\phi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).
$$
则 $\phi(a)=\phi(b)$，对 $\phi$ 用罗尔定理得 $\phi'(c)=0$，即 $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
定理（柯西中值定理）
Cauchy’s Mean Value Theorem
若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $g'(x)\ne 0$，则存在 $c\in(a,b)$ 使
$$
\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.
$$
洛必达法则
定理（洛必达法则：$0/0$ 型）
L’Hôpital’s Rule
若 $f(a)=g(a)=0$，且在 $a$ 的去心邻域内可导、$g'(x)\ne 0$，并且
$$
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
存在或为无穷大，则
$$
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
$$
▸证明思路（由柯西中值定理）
对 $x\ne a$，在区间 $[a,x]$（或 $[x,a]$）对 $f,g$ 用柯西中值定理，得
$$
\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}
$$
其中 $c$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间。令 $x\to a$ 则 $c\to a$，从而把极限转到 $\frac{f'}{g'}$。
取 $f(x)=\sin x,\ g(x)=x$，有 $f(0)=g(0)=0$，且 $\frac{f'(x)}{g'(x)}=\cos x$，故极限为 1。
泰勒公式
佩亚诺/拉格朗日余项
定理（泰勒公式：佩亚诺余项）
Taylor’s theorem (Peano form)
若 $f$ 在 $x_0$ 的邻域内具有 $n$ 阶导数，且
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o\bigl((x-x_0)^n\bigr),
$$
则称上式为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒展开（佩亚诺余项）。
定理（泰勒公式：拉格朗日余项）
Taylor’s theorem (Lagrange form)
若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间具有 $n+1$ 阶导数，则存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间，使
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.
$$
关系（佩亚诺余项 / 拉格朗日余项 / 麦克劳林展开）
Maclaurin series
- 麦克劳林展开：泰勒展开取 $x_0=0$。
- 拉格朗日余项 $\Rightarrow$ 佩亚诺余项：若 $f^{(n+1)}$ 在 $x_0$ 邻域有界，则
$$ R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}=O\bigl((x-x_0)^{n+1}\bigr), $$
从而 $R_{n+1}(x)=o\bigl((x-x_0)^n\bigr)$，故得到佩亚诺形式。 - “余项阶”怎么读：$o\bigl((x-x_0)^n\bigr)$ 表示“比 $(x-x_0)^n$ 更高阶”；而 $O\bigl((x-x_0)^{n+1}\bigr)$ 表示“至多是 $(x-x_0)^{n+1}$ 量级”。
▸推导：拉格朗日余项为什么能推出佩亚诺余项
若存在常数 $M$ 使 $|f^{(n+1)}(t)|\le M$（$t$ 在 $x_0$ 附近），则
$$
|R_{n+1}(x)|
=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\right|
\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}.
$$
两边同除以 $|x-x_0|^n$ 得
$$
\frac{|R_{n+1}(x)|}{|x-x_0|^n}\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|\xrightarrow[x\to x_0]{}0,
$$
故 $R_{n+1}(x)=o\bigl((x-x_0)^n\bigr)$。
求 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$。
$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，故
$$
\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}\to \frac{1}{2}.
$$
麦克劳林展开
常见初等函数的麦克劳林展开（结论，$x\to 0$）
Maclaurin series
$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7),\qquad
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^6).
$$
$$
\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5),\qquad
\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+O(x^5),\qquad
\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5).
$$
$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+O(x^4),\qquad
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4).
$$
$$
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+O(x^4),
$$
$$
\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+O(x^4).
$$
▸计算技巧：近似上差 $\frac{x^3}{6}$的一组函数
麦克劳林展开（取 $x_0=0$）给出通用系数：
$$
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+O(x^4).
$$
所以三阶项系数由 $f^{(3)}(0)$ 决定：
$$
\text{三阶项}=\frac{f^{(3)}(0)}{6}x^3.
$$
下面直接算几个常见函数的 $f^{(3)}(0)$：
- $f(x)=\sin x$：$f'(x)=\cos x,\ f''(x)=-\sin x,\ f^{(3)}(x)=-\cos x$，故 $f^{(3)}(0)=-1$，三阶项为 $-\frac{x^3}{6}$。
- $f(x)=\tan x$：$f'(x)=\sec^2 x$，$f''(x)=2\sec^2 x\tan x$，再求导得
$$ f^{(3)}(x)=4\sec^2 x\tan^2 x+2\sec^4 x, $$
从而 $f^{(3)}(0)=2$，三阶项为 $+\frac{x^3}{3}$。 - $f(x)=\arcsin x$：$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-1/2}$，
$$ f''(x)=x(1-x^2)^{-3/2},\qquad f^{(3)}(x)=(1-x^2)^{-3/2}+3x^2(1-x^2)^{-5/2}, $$
故 $f^{(3)}(0)=1$，三阶项为 $+\frac{x^3}{6}$。 - $f(x)=\arctan x$：$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$，
$$ f''(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2},\qquad f^{(3)}(x)=-\frac{2}{(1+x^2)^2}+\frac{8x^2}{(1+x^2)^3}, $$
故 $f^{(3)}(0)=-2$，三阶项为 $-\frac{x^3}{3}$。
因此三阶项分别是 $-\frac{x^3}{6}$、$+\frac{x^3}{3}$、$+\frac{x^3}{6}$、$-\frac{x^3}{3}$
导数的应用
定理（单调性判定）
若 $f'(x)\ge 0$（$>0$）在区间 $I$ 上成立，则 $f$ 在 $I$ 上单调递增（严格递增）；递减同理。
定理（极值判定：一阶必要条件）
若 $x_0$ 为内点且 $f$ 在 $x_0$ 可导并取极值，则 $f'(x_0)=0$。
定理（凹凸与拐点：二阶导数判定）
若 $f''(x)\ge 0$（$\le 0$）则图像凹向上（凹向下）；若凹凸性在某点两侧改变，则该点为拐点。
设 $f(x)=x^3-3x$。$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。
因此在 $(-\infty,-1)$ 与 $(1,\infty)$ 上 $f'>0$ 单调递增；在 $(-1,1)$ 上 $f'<0$ 单调递减。
故 $x=-1$ 为极大值点，$x=1$ 为极小值点。
曲率与曲率半径
定义（曲率）
设平面曲线在点处切线方向角为 $\varphi$，弧长参数为 $s$。曲率定义为
$$
\kappa=\left|\frac{d\varphi}{ds}\right|.
$$
曲率半径定义为
$$
\rho=\frac{1}{\kappa}.
$$
定理（直角坐标曲率公式）
若曲线由 $y=f(x)$ 给出，且 $f'$、$f''$ 存在，则
$$
\kappa(x)=\frac{|f''(x)|}{\bigl(1+(f'(x))^2\bigr)^{3/2}},\qquad
\rho(x)=\frac{\bigl(1+(f'(x))^2\bigr)^{3/2}}{|f''(x)|}.
$$
▸推导（从 $\kappa=\left|\frac{d\varphi}{ds}\right|$ 出发）
对 $y=f(x)$，切线斜率为 $f'(x)$，切线方向角满足 $\tan\varphi=f'(x)$。
- 对 $x$ 求导：
$$ \sec^2\varphi\cdot\frac{d\varphi}{dx}=f''(x) \Rightarrow \frac{d\varphi}{dx}=\frac{f''(x)}{1+(f'(x))^2}. $$ - 弧长微分：
$$ ds=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx \Rightarrow \frac{dx}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}. $$ - 链式法则：
$$ \frac{d\varphi}{ds}=\frac{d\varphi}{dx}\cdot\frac{dx}{ds} =\frac{f''(x)}{\bigl(1+(f'(x))^2\bigr)^{3/2}}. $$
取绝对值得曲率公式。
$f'(x)=2x,\ f''(x)=2$，代入得
$$
\kappa(0)=\frac{2}{(1+0)^{3/2}}=2,\qquad \rho(0)=\frac{1}{2}.
$$
凸函数与凹函数
定义（凸函数与凹函数）
设 $f$ 定义在区间 $I$ 上。若对任意 $x_1,x_2\in I$ 与 $t\in[0,1]$：
$$
f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2),
$$
则称 $f$ 在 $I$ 上为凸函数；若不等号方向相反，则为凹函数。
▸直观
凸函数：图像“向上拱”，任意两点连线（弦）在图像上方。
凹函数：图像“向下拱”，弦在图像下方。
定理（二阶导数判别）
若 $f$ 二阶可导，且在 $I$ 上 $f''(x)\ge 0$，则 $f$ 在 $I$ 上凸；若 $f''(x)\le 0$，则 $f$ 在 $I$ 上凹。
若 $f$ 凸，则取 $t=\frac{1}{2}$ 得
$$
f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.
$$
三、一元函数积分学
不定积分
定义（原函数）
若在区间 $I$ 上有 $F'(x)=f(x)$，则称 $F$ 为 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数。
定义（不定积分）
所有原函数构成的集合记为
$$
\int f(x)\,dx = F(x)+C.
$$
基本积分公式（常用）
$$
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne -1),\qquad
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
$$
$$
\int e^x\,dx=e^x+C,\qquad
\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\ (a>0,a\ne 1).
$$
$$
\int \cos x\,dx=\sin x+C,\qquad
\int \sin x\,dx=-\cos x+C.
$$
换元积分法
定理（第一类换元）
若 $u=g(x)$ 可导，则
$$
\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
$$
取 $u=1+x^2$，$du=2x\,dx$，得 $\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C=\ln(1+x^2)+C$。
分部积分法
定理（分部积分）
$$
\int u\,dv=uv-\int v\,du.
$$
▸推导（由乘积求导）
由 $(uv)'=u'v+uv'$，两边积分：
$$
\int (uv)'\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx
$$
得 $uv=\int v\,du+\int u\,dv$，移项即得。
定积分
定义
定义（黎曼和）
将 $[a,b]$ 分割为 $a=x_0
定义（定积分：黎曼定义）
若当分割的网格长 $\max\Delta x_i\to 0$ 时，上述黎曼和极限存在且与取点无关，则称该极限为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作
$$
\int_a^b f(x)\,dx.
$$
▸达布上和与下和（可积条件）
Darboux upper and lower sums
在分割上令 $M_i=\sup f([x_{i-1},x_i])$，$m_i=\inf f([x_{i-1},x_i])$，上和 $U(P)=\sum M_i\Delta x_i$，下和 $L(P)=\sum m_i\Delta x_i$。
$f$ 黎曼可积当且仅当 $\sup_P L(P)=\inf_P U(P)$。
微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
定理（变上限积分的导数）
若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，定义
$$
F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,
$$
则 $F$ 在 $[a,b]$ 可导且 $F'(x)=f(x)$。
▸推导（用定义与连续性）
$$
\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}
=\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,dt.
$$
由连续性，$f(t)$ 在小区间上介于最小值与最大值之间，夹逼该平均值到 $f(x)$，令 $\Delta x\to 0$ 得 $F'(x)=f(x)$。
定理（牛顿-莱布尼茨公式）
Newton–Leibniz formula
若 $F'(x)=f(x)$ 且 $f$ 在 $[a,b]$ 可积，则
$$
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).
$$
定积分计算技巧
区间可加
性质（区间可加）
$$
\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.
$$
换元与分部积分
换元与分部积分（定积分）
换元：$x=\varphi(t)$ 且单调可导，则
$$
\int_a^b f(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.
$$
分部：若 $u,v$ 可导，则
$$
\int_a^b u\,dv=\bigl[uv\bigr]_a^b-\int_a^b v\,du.
$$
定积分的应用
面积与体积
面积
$$
\text{Area}=\int_a^b f(x)\,dx\quad (f(x)\ge 0).
$$
旋转体体积：圆盘法
$$
V=\pi\int_a^b \bigl[f(x)\bigr]^2\,dx.
$$
弧长
定理（直角坐标弧长公式）
若曲线由 $y=f(x)$ 给出，且 $f'$ 在 $[a,b]$ 上连续，则弧长
$$
L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.
$$
▸推导（把曲线分成小线段）
在很小的区间上，用割线近似弧长：
$$
\Delta s\approx \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
=|\Delta x|\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}.
$$
当 $\Delta x\to 0$ 时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x)$，求和取极限得到积分形式。
定理（参数方程弧长公式）
若曲线由 $x=\varphi(t),y=\psi(t)$（$t\in[\alpha,\beta]$）给出，且 $\varphi',\psi'$ 连续，则弧长
$$
L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\varphi'(t)\right)^2+\left(\psi'(t)\right)^2}\,dt.
$$
极坐标
定义（极坐标）
平面点用 $(r,\theta)$ 表示，其中
$$
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\ge 0.
$$
极坐标曲线常写为 $r=r(\theta)$。
定理（极坐标面积公式）
由极坐标曲线 $r=r(\theta)$ 围成的扇形/区域，在 $\theta\in[\alpha,\beta]$ 上的面积为
$$
S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^2\,d\theta.
$$
▸推导（把区域分成小扇形）
当 $\Delta\theta$ 很小时，小扇形面积近似为
$$
\Delta S\approx \frac{1}{2}r(\theta)^2\Delta\theta.
$$
求和并取极限得 $S=\frac{1}{2}\int r(\theta)^2\,d\theta$。
定理（极坐标弧长公式）
若曲线 $r=r(\theta)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上可导，则弧长
$$
L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r(\theta)^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta.
$$
▸推导（参数方程弧长）
由参数表示 $x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\ y(\theta)=r(\theta)\sin\theta$。
弧长公式为
$$
L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta.
$$
计算导数：
$$
\frac{dx}{d\theta}=r'\cos\theta-r\sin\theta,\qquad
\frac{dy}{d\theta}=r'\sin\theta+r\cos\theta.
$$
平方相加：
$$
\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2
=(r')^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+r^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)= (r')^2+r^2.
$$
代回即得。
[!EXAMPLE] 心形线 $r=1+\cos\theta$ 的面积
取 $\theta\in[0,2\pi]$：
$$
S=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta
=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)d\theta.
$$
利用 $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0$，以及 $\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$：
$$
S=\frac{1}{2}\left(2\pi+\int_0^{2\pi}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta\right)
=\frac{1}{2}\left(2\pi+\pi\right)=\frac{3\pi}{2}.
$$
[!EXAMPLE] 计算面积
求曲线 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 下方面积：
$$
\int_0^1 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}.
$$
反常积分
定义（无穷区间的反常积分）
$$
\int_a^{\infty}f(x)\,dx:=\lim_{b\to\infty}\int_a^{b}f(x)\,dx
$$
若极限存在且有限，则称该反常积分收敛。
定义（瑕积分）
若 $f$ 在 $(a,b]$ 上可积但在 $a$ 处无界，则
$$
\int_a^{b}f(x)\,dx:=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx,
$$
极限存在则收敛。
定理（比较判别法：结论型）
设 $0\le f(x)\le g(x)$（$x$ 足够大或靠近瑕点处）：
- 若 $\int g$ 收敛，则 $\int f$ 收敛；
- 若 $\int f$ 发散，则 $\int g$ 发散。
$$ \int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{b}. $$
- 若 $p>1$，则 $b^{1-p}\to 0$，收敛；
- 若 $p\le 1$，则发散。
数值积分（梯形公式与辛普森公式）
公式（梯形公式）
把 $[a,b]$ 等分为 $n$ 段，步长 $h=\frac{b-a}{n}$，则
$$
\int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(x_n)\right],
$$
其中 $x_k=a+kh$。
公式（辛普森公式）
Simpson’s rule
要求 $n$ 为偶数，$h=\frac{b-a}{n}$：
$$
\int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{k=1,\,k\ \text{奇}}^{n-1}f(x_k)+2\sum_{k=2,\,k\ \text{偶}}^{n-2}f(x_k)+f(x_n)\right].
$$
▸直观
梯形公式用直线段近似曲线；辛普森公式用抛物线（通过三点）近似曲线，因此一般更精确。
速查表
▸常用求导公式（速查）
$$
(c)'=0,\quad (x)'=1,\quad (x^n)'=nx^{n-1}.
$$
$$
(e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=(\ln a)a^x\ (a>0,a\ne 1),\quad (\ln x)'=\frac{1}{x}\ (x>0).
$$
$$
(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\tan x)'=\sec^2 x,\quad (\cot x)'=-\csc^2 x.
$$
$$
(\sec x)'=\sec x\tan x,\quad (\csc x)'=-\csc x\cot x.
$$
$$
(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}.
$$
[!INFO]+ 常用不定积分公式（速查）
$$
\int 1\,dx=x+C,\quad \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
$$
$$
\int e^x\,dx=e^x+C,\quad \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\ (a>0,a\ne 1).
$$
$$
\int \sin x\,dx=-\cos x+C,\quad \int \cos x\,dx=\sin x+C.
$$
$$
\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C,\quad \int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C.
$$
$$
\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C,\quad \int \csc x\cot x\,dx=-\csc x+C.
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C,\quad \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C.
$$
[!INFO]+ 常用麦克劳林展开（$x\to 0$）
$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
$$
$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots,\qquad
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots
$$
$$
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\quad (|x|<1).
$$
$$
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots\quad (|x|<1).
$$
[!INFO]+ 常用等价无穷小（$x\to 0$）
$$
\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},\quad \ln(1+x)\sim x,\quad e^x-1\sim x.
$$