本笔记涵盖第 5–10 讲：转置与向量空间、列空间与零空间、$Ax=0$ 与 $Ax=b$ 的求解、线性相关性、基与维数、四个基本子空间。
▸与 01 的衔接：为什么要学向量空间？
01 已会消元求具体解，但没回答：$Ax=b$ 什么时候有解？解有多少个？ 把 $Ax$ 理解为列的线性组合后，有解 $\Leftrightarrow$ $b \in C(A)$。$Ax=0$ 的解构成零空间 $N(A)$，决定了解的「自由度」。四个子空间（列、零、行、左零）是理解矩阵的骨架，后续投影、SVD 都依赖它们。
一、转置、置换与向量空间 $\mathbb{R}^n$
向量空间的定义
向量空间：对线性运算（加法、数乘）封闭的向量集合。即对其中任意向量 $\mathbf{v}, \mathbf{w}$：
- $\mathbf{v} + \mathbf{w}$ 仍在空间中
- $c\mathbf{v}$（$c$ 为实数）仍在空间中
▸零向量的必要性
任一向量空间必须包含零向量。因为 $0 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0}$，且 $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$，故零向量必在空间中。
子空间
子空间：向量空间 $V$ 的子集 $S$，且 $S$ 本身对线性运算封闭。
▸子空间必过原点
子空间必须包含零向量，故在几何上必过原点。例如 $\mathbb{R}^2$ 中过原点的直线是子空间，不过原点的直线不是。
$\mathbb{R}^3$ 的子空间只有三类：
- 过原点的平面
- 过原点的直线
- 仅含零向量的空间 $Z$
列空间
列空间 $C(A)$：矩阵 $A$ 各列向量及其所有线性组合构成的子空间。
设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$，列空间由 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ 张成，是 $\mathbb{R}^3$ 中过原点的一个平面。
二、列空间与零空间
子空间的交与并
- $P \cup L$：两个子空间的并集一般不是子空间（对加法可能不封闭）
- $P \cap L$：两个子空间的交集一定是子空间
列空间与 $Ax = b$ 的可解性
▸$Ax = b$ 有解的条件
$Ax = b$ 有解 当且仅当 $b$ 属于 $A$ 的列空间 $C(A)$，即 $b$ 可写成 $A$ 各列的线性组合。
主列：消元后主元所在的列；去掉非主列不改变列空间。
零空间
零空间 $N(A)$：满足 $Ax = \mathbf{0}$ 的所有 $x$ 构成的子空间。
- 列空间 $C(A)$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间（$A$ 为 $m \times n$）
- 零空间 $N(A)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间
▸$Ax = b$（$b \neq 0$）的解集不是子空间
若 $b \neq 0$，则 $x = \mathbf{0}$ 不是解，解集中无零向量，故不是向量空间。解集在几何上是「不过原点的平面或仿射子空间」。
三、求解 $Ax = 0$（主变量、特解）
主变量与自由变量
消元得到上三角 $U$ 后：
- 主列：主元所在的列，对应主变量
- 自由列：无主元的列，对应自由变量，可任意赋值
秩 $r$：主元个数。
求零空间的算法
- 将 $A$ 消元得 $U$
- 确定主变量与自由变量（共 $n - r$ 个自由变量）
- 依次将自由变量赋为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \end{bmatrix}$，…，回代求特解
- 零空间 = 所有特解的线性组合
▸例：求零空间
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}$
消元得 $U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，秩 $r = 2$，自由变量 $x_2, x_4$。
赋 $(x_2, x_4) = (1, 0)$ 得特解 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$；赋 $(x_2, x_4) = (0, 1)$ 得特解 $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$。
零空间：$x = c_1 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$。
简化行阶梯形式 $R$
将 $U$ 继续化简：主元化为 1，主元列除主元外为 0，得到 $R$：
$$
R = \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
零空间矩阵 $N$：各列为特解。由 $RN = 0$ 可得：
$$
N = \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}
$$
四、$Ax = b$ 的可解性与解的结构
可解条件
$Ax = b$ 有解 当且仅当 $b$ 满足消元后零行对应的约束。
▸零行约束的来源
若 $A$ 的某些行是其他行的线性组合，消元后会出现零行。对 $[A \mid b]$ 做相同行变换后，该行变为 $0 = b’$ 的形式，故 $b’$ 必须为 0。
通解的结构
$$
\text{通解} = \text{特解} + \text{零空间的任意向量}
$$
求特解时，可将自由变量全赋为 0（与 $Ax = 0$ 不同，因 $b \neq 0$），再回代求主变量。
秩与解的结构
| 情况 | 秩的条件 | 自由变量 | 解的情况 |
|---|---|---|---|
| 列满秩 | $r = n < m$ | 0 | 有解则唯一，或无解 |
| 行满秩 | $r = m < n$ | $n - r$ | 有解则无穷多 |
| 满秩方阵 | $r = m = n$ | 0 | 有解则唯一 |
| 不满秩 | $r < m, r < n$ | $n - r$ | 无解或无穷多解 |
五、线性相关性、基、维数
线性无关与线性相关
设向量组 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$：
- 线性无关：只有 $c_1 = \cdots = c_n = 0$ 时，$c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$
- 线性相关：存在不全为零的 $c_i$ 使得上述组合为零
▸与零空间的关系
$A$ 的列向量线性无关 $\Leftrightarrow$ $N(A) = {\mathbf{0}}$。线性相关 $\Leftrightarrow$ 存在非零 $x$ 使 $Ax = 0$。
生成空间
向量组 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$ 生成一个空间，指该空间由它们的所有线性组合构成。
基
基：满足以下两点的向量组：
- 线性无关
- 生成整个空间
$\mathbb{R}^n$ 的基必含 $n$ 个向量；$n$ 个 $n$ 维向量构成基 $\Leftrightarrow$ 以它们为列的 $n \times n$ 矩阵可逆。
维数
维数：基中向量的个数。同一空间的不同基，向量个数相同。
- $\dim C(A) = r$（秩）
- $\dim N(A) = n - r$
▸例：求列空间的基与维数
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
第 3 列 = 第 1 列 + 第 2 列，第 4 列 = 第 1 列，故前两列线性无关，可作为列空间的基，$\dim C(A) = 2$。零空间维数 = $4 - 2 = 2$。
六、四个基本子空间
四个子空间概览
▸为什么是「四个」子空间？
$A$ 把 $\mathbb{R}^n$ 映到 $\mathbb{R}^m$。列空间 $C(A)$ 与左零空间 $N(A^T)$ 在 $\mathbb{R}^m$ 中，行空间 $C(A^T)$ 与零空间 $N(A)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中。行与零、列与左零互为正交补，各占一半维数，故 $\dim C(A) + \dim N(A^T) = m$，$\dim C(A^T) + \dim N(A) = n$。
对 $m \times n$ 矩阵 $A$：
| 子空间 | 记号 | 所属空间 | 维数 |
|---|---|---|---|
| 列空间 | $C(A)$ | $\mathbb{R}^m$ | $r$ |
| 零空间 | $N(A)$ | $\mathbb{R}^n$ | $n - r$ |
| 行空间 | $C(A^T)$ | $\mathbb{R}^n$ | $r$ |
| 左零空间 | $N(A^T)$ | $\mathbb{R}^m$ | $m - r$ |
行空间
行空间 $C(A^T)$：$A$ 各行线性组合构成的子空间，也可看作 $A^T$ 的列空间。
行化简为 $R$ 后，$R$ 的非零行构成行空间的一组基。行变换不改变行空间。
左零空间
左零空间 $N(A^T)$：满足 $A^T \mathbf{y} = \mathbf{0}$ 的 $\mathbf{y}$，等价于 $\mathbf{y}^T A = \mathbf{0}$（$\mathbf{y}^T$ 左乘 $A$ 得零，故称「左」零空间）。
▸求左零空间的一组基
对 $[A \mid I]$ 做行变换得 $[R \mid E]$。$R$ 的零行对应的 $E$ 中的行，即为把 $A$ 的行线性组合得零的系数，即左零空间的基。
矩阵空间
所有 $3 \times 3$ 矩阵在加法和数乘下构成线性空间。其子空间包括：上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵等。