五、多元函数微分学

$\mathbb{R}^n$ 的基本拓扑

定义（距离与范数）
对 $x=(x_1,\dots,x_n),y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n$，欧氏距离
$$
d(x,y)=|x-y|2=\sqrt{\sum{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}.
$$

定义（邻域、开集、闭集）
以 $x_0$ 为中心、$r>0$ 为半径的开球（邻域）
$$
B(x_0,r)={x\in\mathbb{R}^n:|x-x_0|<r}.
$$
集合 $U$ 称为开集，若对任意 $x\in U$，存在 $r>0$ 使 $B(x,r)\subseteq U$。闭集定义为补集为开集。

▸直观

多元极限的“趋近”本质上是距离趋于 0：$x\to x_0 \iff |x-x_0|\to 0$。


多元函数的极限

定义（多元函数极限）
设 $f:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$，$x_0$ 为 $D$ 的聚点。若存在 $A$，使对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $x\in D$ 且
$$
0<|x-x_0|<\delta
$$
时有
$$
|f(x)-A|<\varepsilon,
$$
则称 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$。

性质（唯一性）
多元极限若存在则唯一。

结论（路径依赖的判定思路）
若沿两条趋于 $x_0$ 的路径得到的极限不同，则多元极限不存在。

典型路径依赖：极限不存在

令 $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$，考察 $(x,y)\to (0,0)$。

  • 沿 $y=0$：$f(x,0)=1$。
  • 沿 $x=0$：$f(0,y)=-1$。
    两条路径极限不同，故极限不存在。

多元函数的连续性

定义（连续）
$f$ 在点 $x_0$ 连续当且仅当
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).
$$

定理（有界闭集上的性质，结论型）
若 $f$ 在有界闭区域 $K\subseteq\mathbb{R}^n$ 上连续，则 $f$ 在 $K$ 上取得最大值与最小值；并满足介值性质的多元推广（连通性版本）。


偏导数与全微分

定义（偏导数）
设 $f(x_1,\dots,x_n)$。在点 $x$ 处关于 $x_i$ 的偏导数定义为
$$
\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_n)}{h},
$$
若极限存在。

定义（方向导数）
给定单位向量 $u$，方向导数
$$
D_u f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+hu)-f(x)}{h}.
$$

定义（梯度）
$$
\nabla f(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right).
$$

定理（梯度与方向导数）
若 $f$ 在 $x$ 可微，则对任意单位向量 $u$，
$$
D_u f(x)=\nabla f(x)\cdot u.
$$

▸推导（可微的线性主部）

可微意味着存在 $o(|h|)$ 使
$$
f(x+h)-f(x)=\nabla f(x)\cdot h+o(|h|).
$$
令 $h=hu$，两边除以 $h$ 并令 $h\to 0$ 得 $D_u f(x)=\nabla f(x)\cdot u$。

定义（可微与全微分）
若存在向量 $g$ 使
$$
f(x+h)-f(x)=g\cdot h+o(|h|),
$$
则称 $f$ 在 $x$ 可微，且 $g=\nabla f(x)$。全微分写作
$$
df=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i},dx_i.
$$

最速上升方向

若 $\nabla f(x)\ne 0$，则 $D_u f(x)$ 在单位向量 $u$ 上的最大值为 $|\nabla f(x)|$，取到于 $u$ 与 $\nabla f(x)$ 同方向。


多元复合函数求导

定理（链式法则，向量形式）
若 $u=g(x)\in\mathbb{R}^m$，$f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$，且二者可微，则
$$
\nabla_x (f\circ g)(x)=J_g(x)^{\mathsf{T}}\nabla_u f(u),
$$
其中 $J_g$ 为雅可比矩阵。

Jacobian

▸推导要点

写出 $f(u+\Delta u)-f(u)=\nabla f(u)\cdot \Delta u+o(|\Delta u|)$，以及 $\Delta u=J_g(x)\Delta x+o(|\Delta x|)$，代入并合并 $o(\cdot)$ 项即可。


泰勒公式

定理（二元泰勒公式，二阶）
若 $f$ 在 $x_0=(a,b)$ 的邻域内二阶可微，则
$$
f(a+h,b+k)=f(a,b)+f_x h+f_y k+\frac{1}{2}\bigl(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2\bigr)+o(h^2+k^2),
$$
其中偏导在 $(a,b)$ 处取值。

近似计算

用二阶泰勒近似 $f(x,y)=e^{x+y}$ 在 $(0,0)$ 附近：
$f(0,0)=1$，$f_x=f_y=1$，$f_{xx}=f_{yy}=f_{xy}=1$，故
$$
e^{x+y}\approx 1+(x+y)+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2).
$$


隐函数

定理（隐函数存在定理，结论型）
若 $F(x,y)=0$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近连续可微且 $F_y(x_0,y_0)\ne 0$，则在该点附近存在唯一函数 $y=y(x)$ 使 $F(x,y(x))=0$，且
$$
y’(x_0)=-\frac{F_x}{F_y}(x_0,y_0).
$$

Implicit function theorem

由隐函数求偏导

设 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0$ 在球面上定义 $z=z(x,y)$。
有 $F_z=2z\ne 0$（除赤道外），故
$$
z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z},\qquad
z_y=-\frac{y}{z}.
$$


极值问题

定义（驻点）
若 $\nabla f(x_0)=0$，称 $x_0$ 为驻点。

定理（黑塞矩阵判别法，二元）
设 $f$ 二阶可微且 $\nabla f(x_0)=0$。令
$$
H=
\begin{pmatrix}
f_{xx} & f_{xy}\\
f_{yx} & f_{yy}
\end{pmatrix}_{x_0}.
$$
若 $\det H>0$ 且 $f_{xx}(x_0)>0$，则 $x_0$ 为极小值点；若 $\det H>0$ 且 $f_{xx}(x_0)<0$，则为极大值点；若 $\det H<0$，则为鞍点。

判别极值

$f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y$。
$\nabla f=(2x-2,2y-4)$，驻点为 $(1,2)$。黑塞矩阵 $H=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$，$\det H=4>0$ 且 $f_{xx}=2>0$，故为极小值点。

定理（拉格朗日乘数法）
在约束 $g(x)=0$ 下求 $f$ 的极值，若满足正则性条件，则极值点满足
$$
\nabla f(x)=\lambda \nabla g(x).
$$

约束极值

在 $x^2+y^2=1$ 上求 $f(x,y)=x+y$ 的最大值。
$\nabla f=(1,1)$，$\nabla g=(2x,2y)$，故 $(1,1)=\lambda(2x,2y)$，得 $x=y$。
联立 $x^2+y^2=1$ 得 $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$，最大值为 $\sqrt{2}$。


六、多元函数积分学

二重积分与三重积分

定义（二重积分：黎曼型）
设 $f$ 在区域 $D\subseteq\mathbb{R}^2$ 上有界。把 $D$ 分割成小区域 $\Delta D_i$，取样点 $(\xi_i,\eta_i)$，若
$$
\sum f(\xi_i,\eta_i),\Delta\sigma_i
$$
在网格长趋于 0 时极限存在且与取点无关，则该极限为二重积分，记作
$$
\iint_D f(x,y),d\sigma.
$$

计算（直角坐标）
若 $D$ 为 $x$-型区域：$a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le \varphi_2(x)$，则
$$
\iint_D f(x,y),d\sigma=\int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y),dy\right)dx.
$$

定理（换元公式，雅可比）
若变换 $(x,y)=(x(u,v),y(u,v))$ 一一对应且可微，则
$$
\iint_D f(x,y),dxdy=\iint_{D’} f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|,dudv.
$$

Jacobian determinant

极坐标换元

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，有
$$
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|=r,
$$
故 $dxdy=r,dr,d\theta$。


曲线积分与曲面积分（两类）

定义（第一类曲线积分）
沿光滑曲线 $C$：
$$
\int_C f,ds.
$$

定义（第二类曲线积分）
平面上：
$$
\int_C P,dx+Q,dy.
$$

定义（第一类曲面积分）
曲面 $S$ 上：
$$
\iint_S f,dS.
$$

定义（第二类曲面积分）
向量场通量：
$$
\iint_S \vec{F}\cdot \vec{n},dS.
$$


格林公式

Green’s Theorem

定理（格林公式）
设 $D$ 为平面区域，$\partial D$ 为其正向边界，$P,Q$ 在包含 $D$ 的区域内具有连续偏导，则
$$
\oint_{\partial D} P,dx+Q,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy.
$$

▸理解：环量 $\leftrightarrow$ “局部旋转”
  • 左边 $\oint_{\partial D}P,dx+Q,dy$ 可以理解为向量场 $\vec{F}=(P,Q)$ 沿边界走一圈的总做功/环量。
  • 右边 $\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$ 是区域内每个点“局部旋转强度”的累加（二维旋度）。
  • 结论：边界绕一圈的总旋转 = 区域内部所有小旋转的总和。

正向边界：沿边界走动时，区域 $D$ 始终在你的左手边（逆时针）。

▸推导主线（把大区域切成小矩形）
  1. 先在一个小矩形 $R=[x,x+\Delta x]\times[y,y+\Delta y]$ 上近似验证：
    • 沿四条边做线积分，利用“上边/下边近似抵消、左边/右边近似抵消”的思想，保留一阶主项，得到
      $$
      \oint_{\partial R}P,dx+Q,dy \approx \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y.
      $$
  2. 把一般区域 $D$ 细分成许多小矩形（或小曲边矩形），对每块应用(1)并求和。
  3. 内部公共边界的线积分方向相反，相互抵消；最终只剩外边界 $\partial D$。
  4. 令网格长 $\to 0$，近似变严格，得到格林公式。
▸物理对应（二维流体/电磁）
  • 若 $\vec{F}$ 是平面速度场：左边是绕边界的总环量；右边是区域内涡量（旋度）的总量。
  • 若 $\vec{F}$ 是平面力场：左边是沿闭路做功；右边反映“非保守性”的来源。
用格林公式求面积

取 $P=-\frac{y}{2},\ Q=\frac{x}{2}$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$，于是
$$
\text{Area}(D)=\iint_D 1,dxdy=\oint_{\partial D}\left(-\frac{y}{2},dx+\frac{x}{2},dy\right).
$$


高斯公式与斯托克斯公式

定理（高斯公式 / 散度定理）

$$
\iint_{\partial \Omega}\vec{F}\cdot \vec{n},dS=\iiint_{\Omega} \nabla\cdot \vec{F},dV.
$$

Gauss’s Theorem

▸理解：通量 $\leftrightarrow$ “强度”(标量！)
  • 左边是穿过封闭曲面 $\partial\Omega$ 的净通量（向外为正）。
  • 右边 $\iiint_{\Omega}\nabla\cdot \vec{F},dV$ 是体内每点“产生/吸收通量”的强度（散度）的总和。
  • 结论：边界流出去多少 = 体内一共生成多少（减去吸收多少）。
▸推导主线（小立方体相加 + 抵消）
  1. 先在小长方体上验证：把六个面的通量加起来，用一阶近似得到
    $$
    \iint_{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot \vec{n},dS \approx (\nabla\cdot \vec{F}),\Delta V.
    $$
  2. 用很多小长方体填满 $\Omega$，对每个小块求和。
  3. 内部相邻小块共享的面，法向相反，通量相互抵消，只剩外表面 $\partial\Omega$。
  4. 令网格细化到极限，得到散度定理。
直接算一个简单通量

取 $\vec{F}=(x,y,z)$，$\Omega$ 为单位球 $x^2+y^2+z^2\le 1$。
散度 $\nabla\cdot\vec{F}=1+1+1=3$，因此
$$
\iint_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot\vec{n},dS=\iiint_{\Omega}3,dV=3\cdot\frac{4\pi}{3}=4\pi.
$$

▸物理对应（电磁/流体/连续介质）
  • 电场 $\vec{E}$：$\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_0$，所以“封闭面电通量 = 内部电荷总量 / $\varepsilon_0$”（高斯定律的积分形式）。
  • 速度场 $\vec{v}$：$\nabla\cdot\vec{v}$ 描述“压缩/膨胀”，不可压缩流满足 $\nabla\cdot\vec{v}=0$，于是任意封闭面净通量为 0。

定理（斯托克斯公式）

$$
\iint_{S}(\nabla\times \vec{F})\cdot \vec{n},dS=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
$$

Stokes’ Theorem

▸理解：环量 $\leftrightarrow$ “旋度通量”
  • 右边是沿边界 $\partial S$ 走一圈的环量（做功）。
  • 左边是曲面上旋度在法向方向的通量之和。
  • 结论：边界绕一圈的总旋转 = 曲面上所有小“涡旋”穿透法向的总量。
▸方向约定（最容易错）

曲面法向 $\vec{n}$ 与边界方向必须满足右手定则：
右手四指沿 $\partial S$ 的正向弯曲，大拇指指向的方向就是 $\vec{n}$ 的正向。

▸推导主线（把曲面切成很多小面片）
  1. 在小面片上，“沿边界的环量”近似等于“旋度在法向分量”乘以“面片面积”。
  2. 把曲面剖分成许多小面片求和。
  3. 内部公共边界的环量方向相反，相互抵消；只剩外边界 $\partial S$。
  4. 令面片直径趋于 0 得到斯托克斯公式。
一个典型验证（用对称性快速算）

取 $\vec{F}=\left(-\frac{y}{2},\frac{x}{2},0\right)$，$S$ 为单位圆盘 $x^2+y^2\le 1$（位于 $z=0$），法向取 $\vec{n}=(0,0,1)$。
旋度
$$
\nabla\times \vec{F}=\left(0,0,\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{2}-\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{2}\right)\right)=(0,0,1).
$$
左边为
$$
\iint_S (\nabla\times \vec{F})\cdot \vec{n},dS=\iint_S 1,dS=\pi.
$$
右边边界是单位圆 $C$，参数化 $x=\cos t,y=\sin t$，则
$$
\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}
=\int_0^{2\pi}\left(-\frac{\sin t}{2},\frac{\cos t}{2},0\right)\cdot(-\sin t,\cos t,0),dt
=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2},dt=\pi.
$$

▸物理对应（电磁/刚体/流体）
  • 磁场 $\vec{B}$：斯托克斯把 $\oint \vec{B}\cdot d\vec{r}$ 与 $\iint (\nabla\times \vec{B})\cdot\vec{n},dS$ 联系起来；在麦克斯韦方程组中对应安培环路定律等。
  • 速度场 $\vec{v}$：$\nabla\times\vec{v}$ 是涡量，斯托克斯告诉你“边界环量 = 面内涡量通量”。
▸统一视角（结论型）

格林公式是二维情形；高斯与斯托克斯是其在三维的两种推广：一个把“边界通量”转成“体内散度”，一个把“边界环量”转成“曲面上旋度通量”。

▸三大公式速查（选哪个？方向怎么定？常见坑）

(1) 先选公式：看“对象”

  • 想把 闭合曲线积分 变成 区域二重积分：用格林公式（平面、闭曲线）。
  • 想把 封闭曲面通量 变成 体积分：用高斯公式（封闭曲面）。
  • 想把 边界曲线环量 变成 曲面积分：用斯托克斯公式（有边界的曲面）。

(2) 再看“被积的量”

  • 格林：$\oint(P,dx+Q,dy)\ \leftrightarrow\ \iint\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$
    右侧是二维旋度（$k$ 分量）。
  • 高斯：$\iint \vec{F}\cdot \vec{n},dS\ \leftrightarrow\ \iiint (\nabla\cdot\vec{F}),dV$
    右侧是散度（源汇强度）。
  • 斯托克斯：$\oint \vec{F}\cdot d\vec{r}\ \leftrightarrow\ \iint (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n},dS$
    右侧是旋度在法向的通量。

(3) 方向约定：一眼不出错

  • 格林：边界“正向”= 沿边界走时区域始终在左手边（通常就是逆时针）。
  • 高斯：封闭曲面法向取“外法向”。
  • 斯托克斯：右手定则：右手四指沿边界正向弯曲，大拇指指向法向正向。

(4) 常见坑点清单

  • 域是不是封闭：高斯必须是封闭曲面；斯托克斯的曲面必须有边界且与边界匹配。
  • 方向错号：格林边界方向反了会整体多一个负号；斯托克斯边界与法向不匹配也会翻号。
  • 坐标/参数化：曲面积分要确保 $dS$、$\vec{n}$（或 $d\vec{S}$）写对；参数化时注意雅可比与方向。
  • 光滑性条件：默认 $P,Q,\vec{F}$ 有连续偏导；遇到奇点要先排除/分区域/用极限处理。

(5) 典型使用流程（通用套路）

  1. 写清楚区域/曲面与边界（画图或描述）。
  2. 统一方向约定（边界正向、法向）。
  3. 选择把“难的积分”换成“更好算的导数/积分”。
  4. 计算 $\nabla\cdot\vec{F}$ 或 $\nabla\times\vec{F}$ 或 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$。
  5. 换成合适坐标（极坐标/柱坐标/球坐标）完成积分。