七、常微分方程

基本概念

定义（常微分方程）
含有未知函数 $y=y(x)$ 及其导数 $y’,y’’,\dots$ 的方程称为常微分方程（ODE），一般写作
$$
F(x,y,y’,\dots,y^{(n)})=0.
$$

定义（阶与解）
方程中最高阶导数为 $y^{(n)}$，称为 $n$ 阶方程。能使方程恒成立的函数 $y(x)$ 称为方程的解。

定义（通解、特解、初值问题）

  • 通解：含 $n$ 个独立常数的解族（与阶数一致）。
  • 特解：对常数取特定值或满足附加条件的解。
  • 初值问题：给定 $y(x_0),y’(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0)$ 求满足条件的解。
▸为什么会出现“积分常数”

每做一次不定积分都会出现一个常数；$n$ 阶方程一般需要积分 $n$ 次，因此通解里通常出现 $n$ 个独立常数。

定理（存在唯一性：结论型）
对一阶初值问题 $y’=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$，若 $f$ 与 $\partial f/\partial y$ 在 $(x_0,y_0)$ 邻域内连续，则在某个区间内存在唯一解。

Picard–Lindelöf theorem


一阶微分方程

可分离变量方程

形式
$$
y’=g(x)h(y).
$$

▸通用解法（一步一步）
  1. 写成 $ \frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$。
  2. 只要 $h(y)\ne 0$，把 $y$ 相关项移到左边、$x$ 相关项移到右边：
    $$
    \frac{1}{h(y)},dy=g(x),dx.
    $$
  3. 两边积分：
    $$
    \int \frac{1}{h(y)},dy=\int g(x),dx.
    $$
  4. 把积分常数并到一边，并用初值（若有）求常数。
$y'=xy$

$$
\frac{dy}{dx}=xy\Rightarrow \frac{1}{y},dy=x,dx.
$$
积分：
$$
\int \frac{1}{y},dy=\int x,dx \Rightarrow \ln|y|=\frac{x^2}{2}+C.
$$
指数化：
$$
y=C_1 e^{x^2/2}.
$$

齐次方程

形式
$$
\frac{dy}{dx}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)\quad (x\ne 0).
$$

▸通用解法（代换 $y=ux$）

令 $y=ux$，则
$$
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
$$
代入原方程：
$$
u+xu’=\varphi(u)\Rightarrow xu’=\varphi(u)-u.
$$
变成可分离变量：
$$
\frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x}.
$$

$y'=\frac{x+y}{x}$

先化简：
$$
y’=1+\frac{y}{x}.
$$
令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$y’=u+xu’$，代入：
$$
u+xu’=1+u\Rightarrow xu’=1.
$$
积分得 $u=\ln|x|+C$，所以
$$
y=x(\ln|x|+C).
$$

一阶线性方程（积分因子）

形式
$$
y’+p(x)y=q(x).
$$

▸通用解法（积分因子）
  1. 定义积分因子
    $$
    \mu(x)=e^{\int p(x),dx}.
    $$
  2. 两边乘以 $\mu(x)$：
    $$
    \mu y’+\mu p y=\mu q.
    $$
  3. 利用乘积求导：
    $$
    (\mu y)’=\mu y’+\mu’ y,\qquad \mu’=\mu p.
    $$
    因此左边恰好是 $(\mu y)’$，得到
    $$
    (\mu y)’=\mu q.
    $$
  4. 积分：
    $$
    \mu y=\int \mu q,dx + C,
    $$
    从而
    $$
    y=\frac{1}{\mu}\left(\int \mu q,dx+C\right).
$y'+2y=e^x$

$p(x)=2$，积分因子
$$
\mu=e^{\int 2dx}=e^{2x}.
$$
乘上 $\mu$：
$$
(e^{2x}y)’=e^{2x}e^x=e^{3x}.
$$
积分：
$$
e^{2x}y=\frac{1}{3}e^{3x}+C\Rightarrow y=\frac{1}{3}e^x+Ce^{-2x}.
$$

伯努利方程

形式
$$
y’+p(x)y=q(x)y^{\alpha}\quad (\alpha\ne 0,1).
$$

▸通用解法（降为线性）
  1. 两边除以 $y^{\alpha}$（假设 $y\ne 0$）：
    $$
    y^{-\alpha}y’+p(x)y^{1-\alpha}=q(x).
    $$
  2. 令 $u=y^{1-\alpha}$。则
    $$
    u’=(1-\alpha)y^{-\alpha}y’.
    $$
  3. 代回得到一阶线性方程：
    $$
    u’+(1-\alpha)p(x)u=(1-\alpha)q(x).
    $$
$y'+y=y^2$

这是伯努利方程，$\alpha=2$。除以 $y^2$：
$$
\frac{y’}{y^2}+\frac{1}{y}=1.
$$
令 $u=y^{1-2}=y^{-1}$，则 $u’=-\frac{y’}{y^2}$。代入得
$$
-u’+u=1\Rightarrow u’-u=-1.
$$
积分因子 $\mu=e^{\int(-1)dx}=e^{-x}$：
$$
(e^{-x}u)’=-e^{-x}.
$$
积分：
$$
e^{-x}u=e^{-x}+C\Rightarrow u=1+Ce^{x}.
$$
因 $u=1/y$，得到
$$
y=\frac{1}{1+Ce^{x}}.
$$

全微分方程与积分因子

形式
$$
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.
$$

定义（全微分方程）
若存在函数 $F(x,y)$ 使 $dF=F_xdx+F_y dy=Mdx+Ndy$，则称该方程为全微分方程，解为 $F(x,y)=C$。

判别（二维）
若 $M,N$ 在单连通区域内具有连续偏导，且
$$
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
$$
则方程为全微分方程。

▸解法（找势函数 $F$）
  1. 由 $F_x=M$，对 $x$ 积分得 $F=\int M,dx+\phi(y)$。
  2. 对 $y$ 求偏导：$F_y=\frac{\partial}{\partial y}\int M,dx+\phi’(y)$。
  3. 令 $F_y=N$，解出 $\phi(y)$。
  4. 得到 $F(x,y)=C$。
$(2xy)\,dx+(x^2)\,dy=0$

$M=2xy,\ N=x^2$，有 $M_y=2x,\ N_x=2x$，可判为全微分。
令 $F_x=2xy$，积分得 $F=x^2y+\phi(y)$。
则 $F_y=x^2+\phi’(y)=N=x^2$，得 $\phi’(y)=0$，$\phi=C$。
解为 $x^2y=C$。


高阶微分方程

可降阶的高阶方程

▸常见三类“降阶套路”
  • $y^{(n)}=f(x)$：直接积分 $n$ 次。
  • $y’’=f(x,y’)$（不显含 $y$）：令 $p=y’$，把方程变成一阶 $p’=f(x,p)$。
  • $y’’=f(y,y’)$（不显含 $x$）：令 $p=y’$，把 $y’’=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$，从而变为关于 $p(y)$ 的一阶方程。
$y''=x$

积分两次：
$$
y’= \int x,dx=\frac{x^2}{2}+C_1,\qquad
y=\int\left(\frac{x^2}{2}+C_1\right)dx=\frac{x^3}{6}+C_1x+C_2.
$$

高阶线性微分方程

形式（线性）
$$
y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y’+a_0(x)y=g(x).
$$

性质（解的结构）
齐次方程（$g=0$）的解构成线性空间；非齐次方程的通解为
$$
y=y_h+y_p,
$$
其中 $y_h$ 为齐次通解，$y_p$ 为任一特解。

常系数齐次线性方程

形式
$$
y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=0.
$$

▸特征方程法（从 $e^{rx}$ 出发）
  1. 假设解形如 $y=e^{rx}$。
  2. 代入得到关于 $r$ 的代数方程（特征方程）。
  3. 按根的类型写通解：
  • 实单根：$e^{r x}$
  • 重根：$x^k e^{rx}$
  • 共轭复根 $\alpha\pm i\beta$：$e^{\alpha x}(\cos\beta x,\sin\beta x)$
$y''-y=0$

设 $y=e^{rx}$，代入得 $r^2-1=0$，根 $r=\pm 1$。
通解：
$$
y=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}.
$$

常系数非齐次线性方程

方法（待定系数法，结论型）
当 $g(x)$ 为多项式、指数、正弦余弦及其有限线性组合时，可猜特解形式并代入求系数（若与齐次解冲突需乘以 $x^s$）。

方法（常数变易法，结论型）
把齐次解中的常数 $C_i$ 视为函数 $C_i(x)$，代入并解线性方程组得到特解。

$y''-y=e^x$

齐次解 $y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}$。右端是 $e^x$ 与齐次解冲突，猜特解 $y_p=Ax e^x$。
计算 $y_p’=A e^x+Ax e^x$，$y_p’’=2A e^x+Ax e^x$。代入：
$$
y_p’’-y_p=(2A e^x+Ax e^x)-(Ax e^x)=2A e^x.
$$
令 $2A e^x=e^x$，得 $A=\frac{1}{2}$。
所以通解
$$
y=C_1e^x+C_2e^{-x}+\frac{1}{2}x e^x.
$$

欧拉方程

形式
$$
x^2y’’+\alpha x y’+\beta y=g(x)\quad (x>0).
$$

▸思路（试探 $y=x^m$）

令 $y=x^m$，则 $y’=mx^{m-1}$，$y’’=m(m-1)x^{m-2}$，代入齐次方程得到关于 $m$ 的代数方程。


微分方程组与进阶话题

常系数线性微分方程组

形式
$$
\mathbf{x}’=A\mathbf{x},\qquad \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n.
$$

▸思路（特征值与特征向量）

若 $A v=\lambda v$，尝试 $\mathbf{x}=e^{\lambda t}v$，代入得到成立。
因此解由 $A$ 的特征值/特征向量组合而成；复特征值对应旋转-伸缩行为（相平面螺旋）。

$\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}1&0\\\\0&2\end{pmatrix}\mathbf{x}$

两个方程解耦：$x_1’=x_1,\ x_2’=2x_2$，解为
$$
x_1=C_1 e^{t},\qquad x_2=C_2 e^{2t}.
$$

幂级数解法（概念型）

▸什么时候用

当系数在某点附近解析（或至少可展开）时，可以设
$$
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
$$
代入方程，通过比较幂次得到递推关系，从而求系数 $a_n$。

定性理论与稳定性（入门）

定义（平衡点）
对自治系统 $\mathbf{x}’=\mathbf{f}(\mathbf{x})$，若 $\mathbf{f}(\mathbf{x}^\ast)=0$，则 $\mathbf{x}^\ast$ 为平衡点。

直观（线性化）
在平衡点附近用雅可比矩阵 $J=\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}(\mathbf{x}^\ast)$ 近似系统行为：$\mathbf{u}’\approx J\mathbf{u}$。